7. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat - 2x2 + 5x – 7 < 0 

Pada soal ini, kita diminta untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat \(− 2x^2 + 5x − 7 < 0\) . Langkah awal yang harus kita lakukan adalah mencari nilai diskriminannya. Ketika nilai diskriminan kurang dari nol \((D < 0)\) maka pertidaksamaan tersebut tidak memiliki akar penyelesaian. Oleh karenanya pada soal ini konsep yang digunakan adalah Definit Positif dan Definit Negatif.

Identifikasi Konsep

Pada soal di atas ditanyakan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan fungsi kuadrat. Langkah pertama yang dilakukan adalah mencari nilai diskriminan, yaitu 
\(D = b^2 − 4ac\). 
Jika nilai diskriminan \(D < 0\) maka fungsi tersebut tidak memiliki akar penyelesaian. Fungsi kuadrat \(f(x) = ax^2 + bx + c\) yang memiliki nilai \(D < 0\) dan \(a > 0\) maka fungsi tersebut definit positif. Sedangkan ketika fungsi tersebut memiliki nilai \(D < 0\) dan \(a < 0\) maka fungsi tersebut definit negatif.

Diketahui \(f(x) =− 2x^2 + 5x − 7\) sehingga nilai \(a =− 2, b = 5, c =− 7\) . Jadi, diskriminannya adalah
\(D = b^2 − 4ac\)
\(D = (5)^2 − 4(− 2)(− 7)\)
\(D = 25 − 56\)
\(D = − 31 < 0\) sehingga \(D < 0\)

Selanjutnya kita cek untuk nilai a. Nilai \(a =− 2 \) sehingga \(a < 0\) . Jika nilai \(D < 0\) dan \(a < 0\) maka definit negatif. Ini artinya, untuk sembarang bilangan real \(x\), nilai \(f(x) =− 2x^2 + 5x − 7\) akan selalu
bernilai negatif atau kurang dari nol.

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, himpunan penyelesaian untuk \(−2x^2 + 5x − 7 < 0\) adalah sembarang bilangan x pada himpunan bilangan real. Dituliskan HP = {x ∈ R}.