8. Bayangan garis x - 2y + 5 = 0 dirotasi sebesar 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi P(5,-3) adalah.... a. 2x – y + 23 = 0 b. -2x – y + 23 = 0 c. 2x + y + 9 = 0 d. 2x - y - 9 = 0 e. -2x + y - 9 = 0 

Rotasi/perputaran adalah salah satu jenis transformasi geometri yang memindahkan suatu titik ke titik yang lain dengan prinsip memutar terhadap sudut dan titik pusat tertentu yang memiliki jarak sama dengan setiap titik yang diputar. Pada soal diatas ditunjukkan sebuah garis \(x-2y+5=0\) yang dirotasikan sebesar \(90^{\circ}\) berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi \(P(5,-3)\). Untuk menentukan bayangan garis \(x-2y+5=0\) setelah dirotasikan, akan digunakan konsep rotasi/perputaran terhadap pusat \((h,k)\).

STEP 1 Identifikasi Konsep

Untuk menentukan bayangan suatu titik yang dirotasikan terhadap pusat \((h,k)\), akan kita gunakan matriks transformasi rotasinya sebagai berikut:

\(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\theta & -sin\theta\\sin\theta & cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-h\\y-k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}\)

Keterangan:
\((x,y)\) adalah titik asal yang dirotasi 
\((x',y')\) adalah titik bayangan/hasil rotasi 
\(\theta\) adalah besar sudut rotasi

Perlu diingat bahwa nilai dari sudut rotasi akan mengikuti arah perputaran/rotasinya. Apabila rotasinya searah dengan perputaran arah jarum jam maka sudut rotasi akan bernilai negatif. Sebaliknya, apabila rotasinya berlawanan dengan perputaran arah jarum jam maka sudut rotasi akan bernilai positif.

Sebelum menentukan bayangan dari garis \(x-2y+5=0\), terlebih dahulu kita ambil sembarang titik \((x,y)\) yang melalui garis ini. Hal ini dikarenakan kita hanya mempunyai rumus rotasi untuk suatu titik. Kita tentukan hasil rotasi titik \((x,y)\) sebesar \(90^{\circ}\) berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi \(P(5,-3)\) sebagai berikut:

\(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\theta & -sin\theta\\sin\theta & cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-h\\y-k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos90^{\circ} & -sin90^{\circ}\\sin90^{\circ} & cos90^{\circ}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-5\\y-(-3)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-5\\y+3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y-3\\x-5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y+2\\x-8\end{pmatrix}\)

Dari perhitungan matriks diatas, kita peroleh dua persamaan yaitu:
(*) \(x'=-y+2\)
sehingga diperoleh \(y=-x'+2\)

(*) \(y'=x-8\)
sehingga diperoleh \(x=y'+8 \)

Untuk memperoleh hasil transformasi dari garis \(x-2y+5=0\), kita substitusikan \(y=-x'+2\) dan \(x=y'+8\) ke dalam persamaan garis tersebut, yaitu

\(x-2y+5=0\)
\((y'+8)-2(-x'+2)+5=0\)
\(y'+8+2x'-4+5=0\)
\(2x'+y'+9=0\)

Kemudian kita ubah kembali \(x'\) menjadi \(x\) dan \(y'\) menjadi \(y\) sehingga kita peroleh persamaan garis hasil rotasinya adalah \(2x+y+9=0\)

STEP 2 Identifikasi Pembahasan dan Solusi

Jadi kita peroleh bayangan garis \(x-2y+5=0\) yang dirotasikan sebesar \(90^{\circ}\) berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi \(P(5,-3)\) adalah garis \(2x+y+9=0\).

Sehingga jawaban yang benar adalah C