8. Persamaan x3 – 8x2 + 4x + k = 0 memiliki akar- akar x1, x2 dan X3. Diketahui bahwa x1 + x2 = -5x3. Nilai dari k adalah... a. 20 b. 24 c. 48 d. 64 e. 80 

Pada soal ini diketahui suatu polinomial (suku banyak) dan kita diminta untuk mencari koefisien suku banyak dengan diketahui operasi hitung dari akar-akar polinomial. Sehingga untuk penyelesaian soal ini dapat kita gunakan Bab Polinomial dengan Konsep Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Polinomial (Teorema Vieta). 

Teorema Vieta menggambarkan bagaimana jumlah dan hasil kali akar-akar suatu persamaan polinomial dapat diperoleh berdasarkan pada koefisien-koefisien dalam persamaan polinomial tersebut. Dengan Teorema Vieta ini dapat diperoleh berbagai perhitungan akar-akar suatu polinomial walaupun kita tidak mengetahui nilai dari masing-masing akarnya seperti soal ini.

Adapun rumus jumlah dan hasil kali akar-akar suatu polinomial berderajat 3 sesuai pada soal ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
 $\color{blue} ax^3+bx^2+cx+d=0$ 
Jika akar-akarnya adalah $x_1,x_2$ dan $x_3$, maka:
<ul><li>$x_1+x_2+ x_3= -\frac{b}{a}$</li><li>$x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{c}{a}$</li><li>$x_1.x_2.x_3=-\frac{d}{a}$</li></ul>

Step 1. Identifikasi Konsep

Pada soal ini diketahui bahwa suku banyak:
$x^3-8x^2+4x+k=0 $  yang memiliki akar-akar $x_1, x_2, x_3$. Nilai dari $x_1+x_2=-5.x_3$
Selanjutnya kita diminta menghitung nilai dari koefisien k.

Untuk mengerjakan soal ini kita akan menggunakan Teorema Vieta untuk polinomial berderajat 3. 

Karena diketahui nilai  $x_1+x_2=-5.x_3$,
Dari $x^3-8x^2+4x+k=0 $ kita hitung nilai dari :
$x_1+x_2+ x_3= -\frac{b}{a}$
$ -5.x_3 + x_3 = -\frac{-8}{1} $
$ -4.x_3 = 8 $
$ x_3 = -2 $

Karena $x_3 = -2$ merupakan akar dari suku banyak tersebut, maka jika kita substitusikan akar ke persamaan akan mengasilkan nilai yang sesuai:
Untuk $x_3 = -2$, maka:
$x^3-8x^2+4x+k=0 $ 
$(-2)^3-8.(-2)^2+4.-2+k=0 $ 
$-8-32-8+k=0 $ 
$ k = 48 $

Step 2. Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $48$

JAWABAN : C. 48

Pembahasan