9. Persamaan bayangan garis y =-5x + 8 oleh refleksi terhadap garis y = 4 dilanjutkan refleksi terhadap garis x = -1 adalah .... 

Hai Pahamifren, kalian pasti sering bercermin kan? Saat bercermin kalian akan menggunakan cermin sebagai alatnya. Nah pada bidang geometri kita juga dapat mencerminkan undur unsur yang ada di dalamnya hanya saja cermin yang digunakan bukan cermin seperti yang kita gunakan melainkan dapat berupa titik maupun garis. Coba lihat soal yang kita punya! di soal tersebut kita akan mencari hasil dari pencerminan/ refleksi dari garis \(y=-5x+8\) oleh dua garis yaitu yang pertama refleksi terhadap garis \(y=4\) dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap garis \(x=1\). Sekarang coba perhatikan, kedua garis tersebut adalah saling tegak lurus. Artinya kita akan menggunakan konsep Refleksi Berurutan terhadap 2 garis tegak lurus

Konsep 

Diketahui:
Garis \(y=-5x+8\) di refleksi terhadap garis \(y=4\) dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap garis \(x=-1\)
Ditanya:
Bayangan dari garis tersebut
Jawab
Transformasi geometri merupakan perubahan pada sebuah bidang geometri yang meliputi perubahan posisi, ukuran dan juga bentuk.

Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri kearah sebuah cermin dengan jarak sama dengan dua kali jarak titik kecermin. Pencerminan bergantung pada cermin apa yang digunakan. Pencerminan juga dapat dilakukan bukan hanya satu kali tetapi bisa juga dilakukan lebih dari sekali secara berturut turut. Nah salah satunya adalah pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus.

Refleksi atau pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus
Jika titik \(A(x, y)\) direfleksikan terhadap dua garis yang saling tegak lurus maka bayangannya \(A'(x', y')\) sama dengan rotasi titik \(A(x, y)\) dengan titik pusatnya adalah titik potong kedua garis dan sudut putar \(180^\circ\). 
Misalkan titik potong kedua garis adalah \((p, q)\) maka rumusnya bisa dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos{180^\circ}&-\sin{180^\circ}\\ \sin{180^\circ}&\cos{180^\circ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1(x-p)+0(y-q)\\ 0(x-p)-1(y-q)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p\\ -y+q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p+p\\ -y+q+q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2p\\ -y+2q\end{array}\right)\\\)

Perhatikan
Garis \(y=-5x+8\) direfleksi terhadap garis \(y=4\) dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap garis \(x=-1\), Garis \(y=4\) dan \(x=-1\) adalah garis yang saling sejajar dan saling berpotongan pada titik \((1, 4)\). Komposisi pencerminan terhadap garis \(y=4\) dan \(x=-1\) dapat dituliskan sebagai rotasi dengan pusat \((-1, 4)\) dengan sudut \(180^\circ\). Untuk mencari bayangan garisnya kita terlebih dahulu harus mencari bayangan dari tiap titik yang terletak pada garis tersebut sehingga kita dapat gunakan rumus yang kita miliki diatas.
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2(-1)\\ -y+2(4)\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x-2\\ -y+8\end{array}\right)\)
sehingga kita punya
\(x'=-x-2\rightarrow{x=-2-x'}\\ y'=-y+8\rightarrow{y=8-y'}\)
kita akan substitusikan titik \(x=-2-x'\) dan \(y=8-y'\) ke persamaan garis \(y=-5x+8\)
\(8-y'=-5(-2-x')+8\)
\(-y'=10+5x'+8-8\)
\(-y'=10+5x'\)
\(y'=-5x'-10\)
dengan menghilangkan tanda ( ' ) maka kita peroleh bayangan garisnya adalah \(y=-5x-10\).

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Bayangan dari garis \(y=-5x+8\) di refleksi terhadap garis \(y=4\) dan dilanjutkan lagi dengan refleksi terhadap garis \(x=-1\) adalah \(y=-5x-10\).