Apakah fungsi g(x) = {2x+1, sin x, x < 0 x > 0 Kontinyu di x = 0?

Misalkan kita diberikan sebuah fungsi tangga $f(x)$ dengan definisi berikut.
$f(x)=\begin{cases}u(x), & x < a \\v(x), & x\geq a \end{cases}$
Apakah $f(x)$ kontinyu di $x=a$? Untuk mengetahuinya, kita perlu mengingat konsep kekontinyuan fungsi. Fungsi $f(x)$ akan kontinyu di $x=a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut.<ol>
<li>$f(a)$ ada (jelas bahwa $f(a)=v(a)$</li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)$ ada (limit kiri $=$ limit kanan)</li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$</li></ol>

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan fungsi $g(x)$ didefinisikan sebagai berikut.
$g(x)=\begin{cases}\sin{x}, & x < 0\\2x+1& x\geq0\end{cases}$
Akankah $g(x)$ kontinyu di $x=0$? Untuk membuktikannya, uji dengan ketiga syarat kekontinyuan.<ol>
<li>Apakah $g(0)$ ada?</li>
Berdasarkan definisi, $g(x)=2x+1$ untuk $x\geq0$, maka $g(0)=2(0)+1=1$. Jadi, $g(0)$ ada
<li>Apakah $\lim_{x\to0}g(x)$ ada?</li>
Limit kiri: $\lim_{x\to0^{-}}g(x)=\lim_{x\to0}\sin{x}=\sin{0}=0$
Limit kanan: $\lim_{x\to0^{+}}g(x)=\lim_{x\to0}(2x+1)=2(0)+1=1$
Limit kiri $\neq$ limit kanan, maka $\lim_{x\to0}g(x)$ tidak ada.
<li>Karena syarat kedua tidak terpenuhi, maka tidak perlu dicek syarat ketiga</li>
</ol>
Syarat kedua tidak terpenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa $g(x)$ tidak kontinyu di $x=0$.

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, terbukti bahwa $g(x)$ tidak kontinyu di $x=0$.

Pembahasan