Diberikan fungsi x < -1 atau x > 1 f(x) = X, -1<x< 1 Apakah f (x) kontinyu untuk setiap x € R?

Coba ingat kembali konsep kekontinyuan fungsi. Secara grafis fungsi $f(x)$ kontinyu pada suatu interval jika pada interval tersebut grafik fungsi selalu bersambung, tidak ada kurva yang terputus atau terpisah. Secara matematis, terdapat tiga syarat supaya $f(x)$ kontinyu di $x=c$, yaitu<ol>
<li>$f(c)$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$</li></ol>
Jika kita diberikan suatu fungsi $f(x)$ dan diminta mengecek apakah $f(x)$ kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, maka kita cukup mengecek titik-titik di mana kemungkinan grafik fungsi terputus, bisa berupa asimtot (fungsi rasional), persambungan interval (fungsi tangga), atau bentuk lain. Selanjutnya konsep kekontinyuan secara matematis digunakan untuk memeriksa kekontinyuan titik-titik tersebut.

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan sebuah fungsi tangga $f(x)$ didefinisikan sebagai berikut.

$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x} & x<-1\text{ atau }x>1\\x& -1\leq x\leq1\end{cases}$

Apakah $f(x)$ kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$? Untuk mengetahuinya, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
<ul>
<li>Cek kekontinyuan fungsi rasional</li>
Fungsi rasional $\frac{1}{x}$ kontinyu di semua titik kecuali pembuat nol penyebut, karena itu merupakan nilai asimtot fungsi. Secara umum, kita tahu bahwa $\frac{1}{x}$ memiliki asimtot $x=0$, maka $\frac{1}{x}$ tidak kontinyu di $x=0$. Tetapi karena $x=0$ tidak terletak pada interval $x<-1$ atau $x>1$, maka $\frac{1}{x}$ kontinyu pada interval $x<-1$ atau $x>1$
<li>Cek kekontinyuan fungsi linier</li>
Fungsi linier $x$ selalu kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, maka $f(x)$ kontinyu di $-1 < x < 1$. 
<li>Cek kekontinyuan di $x=-1$ menggunakan ketiga syarat</li><ol>
<li>$f(-1)=-1$, maka $f(-1)$ ada.</li>
<li>$\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=\lim_{x\to-1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{-1}=-1$</li>
$\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=\lim_{x\to-1}\left(x-1\right)=-1$
Karena $\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=0$ (limit kiri $=$ limit kanan), maka $\lim_{x\to-1}f(x)$ ada.
<li>Karena $\lim_{x\to-1}f(x)=f(-1)=-1$, maka ketiga syarat terpenuhi. Jadi, $f(x)$ kontinyu di $x=-1$</li></ol>
<li>Cek kekontinyuan di $x=1$ menggunakan ketiga syarat</li><ol>
<li>$f(1)=1$, maka $f(1)$ ada.</li>
<li>$\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1}\left(x\right)=1$</li>
$\lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{1}=1$
Karena $\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}f(x)=1$ (limit kiri $=$ limit kanan), maka $\lim_{x\to1}f(x)$ ada.
<li>Karena $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)=1$, maka ketiga syarat terpenuhi. Jadi, $f(x)$ kontinyu di $x=1$</li></ol></ul>
Dari keempat pengujian tersebut, dapat disimpulkan bahwa $f(x)$ kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, termasuk $x=-1$, $x=0$, dan $x=1$. Hal ini dapat juga ditunjukkan pada grafik fungsi $f(x)$ berikut.
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-35/ChapId-32/LessonId-284/ModuleId-2/QuestionCode-21HELG1TE70/Capture13.PNG" />

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, disimpulkan bahwa $f(x)$ kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$.

Pembahasan