Diberikan fungsi (x - 1 x< 1 atau x > 3 f(x) = {x – 2' X – 1, 1<x<3 Apakah f(x) kontinyu untuk setiap x € R?

Coba ingat kembali konsep kekontinyuan fungsi. Secara grafis fungsi $f(x)$ kontinyu pada suatu interval jika pada interval tersebut grafik fungsi selalu bersambung, tidak ada kurva yang terputus atau terpisah. Secara matematis, terdapat tiga syarat supaya $f(x)$ kontinyu di $x=c$, yaitu<ol>
<li>$f(c)$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$</li></ol>
Jika kita diberikan suatu fungsi $f(x)$ dan diminta mengecek apakah $f(x)$ kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, maka kita cukup mengecek titik-titik di mana kemungkinan grafik fungsi terputus, bisa berupa asimtot (fungsi rasional), persambungan interval (fungsi tangga), atau bentuk lain. Selanjutnya konsep kekontinyuan secara matematis digunakan untuk memeriksa kekontinyuan titik-titik tersebut.

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan sebuah fungsi tangga $f(x)$ didefinisikan sebagai berikut.

$\begin{cases}\frac{x-1}{x-2} & x<1\text{ atau }x>3\\x-1 & 1\leq x\leq3\end{cases}$

Apakah $f(x)$ kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$? Untuk mengetahuinya, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
<ul>
<li>Cek kekontinyuan fungsi rasional</li>
Fungsi rasional $\frac{x-1}{x-2}$ kontinyu di semua titik kecuali pembuat nol penyebut, karena itu merupakan nilai asimtot fungsi. Secara umum, kita tahu bahwa $\frac{x-1}{x-2}$ memiliki asimtot $x-2=0\Longleftrightarrow x=2$, maka $\frac{x-1}{x-2}$ tidak kontinyu di $x=2$. Tetapi karena $x=2$ tidak terletak pada interval $x<1$ atau $x>3$, maka $\frac{x-1}{x-2}$ kontinyu pada interval $x<1$ atau $x>3$
<li>Cek kekontinyuan fungsi linier</li>
Fungsi linier $x-1$ selalu kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$,
maka $f(x)$ kontinyu di $1 < x < 3$. 
<li>Cek kekontinyuan di $x=1$ menggunakan ketiga syarat</li><ol>
<li>$f(1)=1-1=0$, maka $f(1)$ ada.</li>
<li>$\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)=\frac{1-1}{1-2}=0$</li>
$\lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1}\left(x-1\right)=1-1=0$
Karena $\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}f(x)=0$ (limit kiri $=$ limit kanan), maka $\lim_{x\to1}f(x)$ ada.
<li>Karena $\lim_{x\to1}f(x)=f(1)=0$, maka ketiga syarat terpenuhi. Jadi, $f(x)$ kontinyu di $x=1$</li></ol>
<li>Cek kekontinyuan di $x=3$ menggunakan ketiga syarat</li><ol>
<li>$f(3)=3-1=2$, maka $f(3)$ ada.</li>
<li>$\lim_{x\to3^{-}}f(x)=\lim_{x\to3}\left(x-1\right)=3-1=2$</li>
$\lim_{x\to3^{+}}f(x)=\lim_{x\to3}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)=\frac{3-1}{3-2}=2$
Karena $\lim_{x\to3^{-}}f(x)=\lim_{x\to3^{+}}f(x)=0$ (limit kiri $=$ limit kanan), maka $\lim_{x\to3}f(x)$ ada.
<li>Karena $\lim_{x\to3}f(x)=f(3)=2$, maka ketiga syarat terpenuhi. Jadi, $f(x)$ kontinyu di $x=3$</li></ol></ul>
Dari keempat pengujian tersebut, dapat disimpulkan bahwa $f(x)$ kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, termasuk $x=1$, $x=2$, dan $x=3$. Hal ini dapat juga ditunjukkan pada grafik fungsi $f(x)$ berikut.
<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-35/ChapId-32/LessonId-284/ModuleId-2/QuestionCode-21HELGGVYHR/Capture12.PNG" />

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, disimpulkan bahwa $f(x)$ kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$. $1 < x < 3$

Pembahasan