Diketahui fungsi distribusi peluang bersama (joint pdf) dari peubah acak X dan Y adalah ху f(x, y) = ; x = 0,1,2; y = 1,2,3 18 Tentukan fungsi kepadatan peluang bersyarat f(y|x = 1). = 

Fungsi distribusi peluang bersama dari dua peubah acak, katakanlah $X$ dan $Y$, berbentuk fungsi dua variabel $f(x,y)$. Secara umum, jika fungsi peluang gabungan tersebut untuk peubak acak diskrit, maka fungsi tersebut memiliki sifat-sifat berikut.<ol>
<li>$f(x,y)\ge0$ untuk setiap $(x,y)$</li>
<li>$\sum_{x}\sum_{y}f(x,y)=1$</li>
<li>$P(X=x,Y=y)=f(x,y)$</li></ol>
Fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $Y$ dengan syarat $X=x$ didefinisikan sebagai
$f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f(x)},f(x)>0$
dengan $f(x)$ merupakan fungsi kepadatan peluang marginal dari $X$ sebagai berikut
$f(x)=\sum_{y}f(x,y)$
Demikian berlaku sebaliknya untuk fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $X$ dengan syarat $Y=y$

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan fungsi distribusi peluang bersama dari $X$ dan $Y$ sebagai berikut.
$f(x,y)=\frac{xy}{18},x=0,1,2;y=1,2,3$
Akan dicari fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $Y$ dengan syarat $X=x=1$. Pertama, akan dicari terlebih dahulu fungsi kepadatan peluang marginal $f(x)$, dengan cara menjumlahkan semua nilai $f(x,y)$ terhadap semua nilai $Y$, yaitu $x=1,2,3$.
$f(x)=\sum_{y}f(x,y)$

$=\sum_{y=1}^{3}\frac{xy}{18}$

$=\frac{x\cdot 1}{18}+\frac{x\cdot 2}{18}+\frac{x\cdot 3}{18}$

$=\frac{x}{18}+\frac{2x}{18}+\frac{3x}{18}$

$=\frac{6x}{18}$

$=\frac{x}{3}$

Sehingga

$f(x=1)=\frac{1}{3}$

Selanjutnya, akan dicari $f(y|x=1)$.

$f(y|x=1)$

$=\frac{f(x=1,y)}{f(x=1)}$

$=\frac{\frac{1\cdot y}{18}}{\frac{1}{3}}$

$=\frac{y}{18}\cdot\frac{3}{1}$

$=\frac{y}{6}$

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, diperoleh fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $Y$ dengan syarat $X=x=1$, yaitu $f(y|x=1)=\frac{y}{6}$.

Pembahasan