Diketahui fungsi distribusi peluang bersama (joint pdf) dari peubah acak X dan Y adalah x + 2y f(x,y) = 0,1,2,3; y = 1,2 36 Tentukan fungsi kepadatan peluang bersyarat f(y[x = 3). :> X = 

Fungsi distribusi peluang bersama dari dua peubah acak, katakanlah $X$ dan $Y$, berbentuk fungsi dua variabel $f(x,y)$. Secara umum, jika fungsi peluang gabungan tersebut untuk peubak acak diskrit, maka fungsi tersebut memiliki sifat-sifat berikut.<ol>
<li>$f(x,y)\ge0$ untuk setiap $(x,y)$</li>
<li>$\sum_{x}\sum_{y}f(x,y)=1$</li>
<li>$P(X=x,Y=y)=f(x,y)$</li></ol>
Fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $Y$ dengan syarat $X=x$ didefinisikan sebagai
$f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f(x)},f(x)>0$
dengan $f(x)$ merupakan fungsi kepadatan peluang marginal dari $X$ sebagai berikut
$f(x)=\sum_{y}f(x,y)$
Demikian berlaku sebaliknya untuk fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $X$ dengan syarat $Y=y$

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan fungsi distribusi peluang bersama dari $X$ dan $Y$ sebagai berikut.
$f(x,y)=\frac{x+2y}{36},x=0,1,2,3;y=1,2$
Akan dicari fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $Y$ dengan syarat $X=x=3$. Pertama, akan dicari terlebih dahulu fungsi kepadatan peluang marginal $f(x)$, dengan cara menjumlahkan semua nilai $f(x,y)$ terhadap semua nilai $Y$, yaitu $y=1,2$.
$f(x)=\sum_{y}f(x,y)$

$=\sum_{y=1}^{2}\frac{x+2y}{36}$

$=\frac{x+2\cdot 1}{36}+\frac{x+2\cdot 2}{36}$

$=\frac{2x+6}{36}$

$=\frac{x+3}{18}$

Sehingga

$f(x=3)=\frac{3+3}{18}=\frac{6}{18}$

Selanjutnya, akan dicari $f(y|x=3)$.

$f(y|x=3)$

$=\frac{f(x=3,y)}{f(x=3)}$

$=\frac{\frac{3+2y}{36}}{\frac{6}{18}}$

$=\frac{3+2y}{36}\cdot\frac{18}{6}$

$=\frac{2y+3}{12}$

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, diperoleh fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $Y$ dengan syarat $X=x=3$, yaitu $f(y|x=3)=\frac{2y+3}{12}$.

Pembahasan