Diketahui fungsi distribusi peluang bersama (joint pdf) dari peubah acak X dan Y adalah x+y f(x,y) ; x = 0,1,2; y = 0,1,2 15 Tentukan fungsi kepadatan peluang bersyarat f(xly = 2). 

Fungsi distribusi peluang bersama dari dua peubah acak, katakanlah $X$ dan $Y$, berbentuk fungsi dua variabel $f(x,y)$. Secara umum, jika fungsi peluang gabungan tersebut untuk peubak acak diskrit, maka fungsi tersebut memiliki sifat-sifat berikut.<ol>
<li>$f(x,y)\ge0$ untuk setiap $(x,y)$</li>
<li>$\sum_{x}\sum_{y}f(x,y)=1$</li>
<li>$P(X=x,Y=y)=f(x,y)$</li></ol>
Fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $X$ dengan syarat $Y=y$ didefinisikan sebagai
$f(x|y)=\frac{f(x,y)}{f(y)},f(y)>0$
dengan $f(y)$ merupakan fungsi kepadatan peluang marginal dari $Y$ sebagai berikut
$f(y)=\sum_{x}f(x,y)$
Demikian berlaku sebaliknya untuk fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $Y$ dengan syarat $X=x$

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan fungsi distribusi peluang bersama dari $X$ dan $Y$ sebagai berikut.
$f(x,y)=\frac{x+y}{15},x=0,1,2;y=0,1,2$
Akan dicari fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $X$ dengan syarat $Y=y=2$. Pertama, akan dicari terlebih dahulu fungsi kepadatan peluang marginal $f(y)$, dengan cara menjumlahkan semua nilai $f(x,y)$ terhadap semua nilai $X$, yaitu $x=0,1,2$.
$f(y)=\sum_{x}f(x,y)$

$=\sum_{x=0}^{2}\frac{x+y}{15}$

$=\frac{0+y}{15}+\frac{1+y}{15}+\frac{2+y}{15}$

$=\frac{3y+3}{15}$

$=\frac{y+1}{5}$

Sehingga

$f(y=2)=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}$

Selanjutnya, akan dicari $f(x|y=2)$.

$f(x|y=2)$

$=\frac{f(x,y=2)}{f(y=2)}$

$=\frac{\frac{x+2}{15}}{\frac{3}{5}}$

$=\frac{x+2}{15}\cdot\frac{5}{3}$

$=\frac{x+2}{9}$

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, diperoleh fungsi kepadatan peluang bersyarat dari $X$ dengan syarat $Y=y=2$, yaitu $f(x|y=2)=\frac{x+2}{9}$.

Pembahasan