Fungsi 1 f(x) X+ 0 1, x = 0 Tidak kontinyu di titik x =... +2 

Jika diberikan sebuah fungsi $f(x)$ untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, apakah $f(x)$ kontinyu pada semua titik? Coba ingat kembali konsep kekontinyuan fungsi. Secara grafis fungsi $f(x)$ kontinyu di $\mathbb{R}$ jika grafik fungsi selalu bersambung, tidak ada kurva yang terputus atau terpisah, untuk setiap $x\in\mathbb{R}$. Secara matematis, terdapat tiga syarat supaya $f(x)$ kontinyu di $x=c$, $c\in\mathbb{R}$.<ol>
<li>$f(c)$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$</li></ol></ol>
Jadi, pada sebuah fungsi rasional yang memiliki asimtot, maka fungsi tersebut tidak kontinyu di asimtotnya, karena tidak memenuhi syarat pertama.

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan sebuah fungsi $f(x)$ didefinisikan sebagai berikut.

$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^2} & x \neq 0\\1 & x = 0\end{cases}$

Apakah $f(x)$ kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$? Sebelumnya, di sini akan kita bagi dua kasus, sesuai dengan pembagian definisi fungsi.
<ul>
<li>$x\neq 0$</li>
Katakanlah ambil $x=c$ untuk $c\in\mathbb{R}$ dan $c\neq 0$, maka akan dicaritahu apakah $f(x)$ kontinyu untuk semua nilai $c$ dengan menganalisis ketiga syarat kekontinyuan.<ol>
<li>$f(c)$ selalu ada untuk $c\neq 0$, yaitu $f(c)=\frac{1}{c}$</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}\frac{1}{x}=\frac{1}{c}$ untuk $c\neq 0$, maka $\lim_{x\to c}f(x)$ ada</li>
<li>Jelas bahwa $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)=\frac{1}{c}$</ol>
Jadi, $f(x)$ kontinyu di $x=c$ untuk $c\in\mathbb{R}$ dan $c\neq 0$.
<li>$x=0$</li>
Akan dicaritahu apakah $f(x)$ kontinyu untuk $x=0$ dengan menganalisis ketiga syarat kekontinyuan.<ol>
<li>$f(0)=1$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty$</li>
<li>Jelas bahwa $\lim_{x\to c}f(x)\neq f(c)$</li></ol>
Jadi, $f(x)$ tidak kontinyu di $x=0$.
</ul>

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, $f(x)$ tidak kontinyu di satu titik, yaitu $x=0$.

Pembahasan