Fungsi t2 – 2t – 3 h(t) t-4 Tidak kontinyu di titik t =... 

Jika diberikan sebuah fungsi $f(x)$ untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, apakah $f(x)$ kontinyu pada semua titik? Coba ingat kembali konsep kekontinyuan fungsi. Secara grafis fungsi $f(x)$ kontinyu di $\mathbb{R}$ jika grafik fungsi selalu bersambung, tidak ada kurva yang terputus atau terpisah, untuk setiap $x\in\mathbb{R}$. Secara matematis, terdapat tiga syarat supaya $f(x)$ kontinyu di $x=c$, $c\in\mathbb{R}$.<ol>
<li>$f(c)$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$</li></ol></ol>
Jadi, pada sebuah fungsi rasional yang memiliki asimtot, maka fungsi tersebut tidak kontinyu di asimtotnya, karena tidak memenuhi syarat pertama.

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan sebuah fungsi $f(x)$ didefinisikan sebagai berikut.

$h(t)=\frac{t^{2}-2t-3}{t-3}$

Apakah $h(t)$ kontinyu untuk setiap $t\in\mathbb{R}$? Sebelum mengetahuinya, kita perlu mengingat bahwa pada suatu fungsi rasional, fungsi tidak terdefinisi di $t=c$ yang merupakan pembuat nol penyebut (asimtot). Karena $h(t)$ merupakan fungsi rasional, kita perlu tahu terlebih dahulu pembuat nol (PN) pembilang maupun penyebut.

PN pembilang: $t^2 - 2t-3=0$
$\Longleftrightarrow(t-3)(t+1)=0$
$\Longleftrightarrow t=3$ atau $t=-1$

PN penyebut: $t-3=0\Longleftrightarrow t=3$

Karena terdapat pembuat nol pembilang yang sama dengan pembuat nol penyebut, yaitu $t=3$, maka $t=3$ bukan merupakan asimtot dari $h(t)$. Ini artinya ada kemungkinan bahwa $h(t)$ kontinyu di $t=3$, maka kita perlu cek apakah memenuhi ketiga syarat kekontinyuan atau tidak.
<ol>
<li>$h(3)=\frac{3^{2}-2(3)-3}{3-3}=\frac{0}{0}$</li>
karena ini merupakan bentuk tak tentu, maka $h(3)$ tidak ada
<li>Karena syarat 1 tidak terpenuhi, tidak perlu dilanjutkan cek syarat 2 dan 3</li></ol>
Syarat 1 tidak terpenuhi, maka $h(t)$ gagal kontinyu di $t=3$.

Pembahasan