Fungsi x + 1 g(x) x2 – 2x – 8 Tidak kontinyu di titik x =... 

Jika diberikan sebuah fungsi $f(x)$ untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, apakah $f(x)$ kontinyu pada semua titik? Coba ingat kembali konsep kekontinyuan fungsi. Secara grafis fungsi $f(x)$ kontinyu di $\mathbb{R}$ jika grafik fungsi selalu bersambung, tidak ada kurva yang terputus atau terpisah, untuk setiap $x\in\mathbb{R}$. Secara matematis, terdapat tiga syarat supaya $f(x)$ kontinyu di $x=c$, $c\in\mathbb{R}$.<ol>
<li>$f(c)$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)$ ada</li>
<li>$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$</li></ol></ol>
Jadi, pada sebuah fungsi rasional yang memiliki asimtot, maka fungsi tersebut tidak kontinyu di asimtotnya, karena tidak memenuhi syarat pertama.

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan sebuah fungsi $g(x)$ didefinisikan sebagai berikut.

$g(x)=\frac{x+1}{x^2 - 2x-8}$

Apakah $g(x)$ kontinyu untuk setiap $x\in\mathbb{R}$? Sebelum mengetahuinya, kita perlu mengingat bahwa pada suatu fungsi rasional, fungsi tidak terdefinisi di $x=c$ yang merupakan pembuat nol penyebut (asimtot). Karena $g(x)$ merupakan fungsi rasional, kita perlu tahu terlebih dahulu pembuat nol (PN) pembilang maupun penyebut.

PN pembilang: $x+1=0\Longleftrightarrow x=-1$

PN penyebut: $x^2 - 2x-8=0$
$\Longleftrightarrow(x+2)(x-4)=0$
$\Longleftrightarrow x=-2$ atau $x=4$

Karena pembuat nol pembilang berbeda dengan pembuat nol penyebut, maka $g(x)$ tidak terdefinisi di $x=-2$ dan $x=4$, atau dengan kata lain $f(-2)$ dan $f(4)$ tidak ada. Berdasarkan ketiga syarat kekontinyuan fungsi, kedua nilai tersebut jelas tidak memenuhi syarat pertama. Jadi, jelas bahwa fungsi $g(x)$ tidak kontinyu di kedua nilai tersebut, yaitu $x=-2$ dan $x=4$.

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, disimpulkan bahwa $g(x)$ tidak kontinyu pada posisi $x=-2$ dan $x=4$.

Pembahasan