Sebuah bangun berbentuk daun dibatasi oleh grafik fungsi f(x) = x2 – 1 dan g(x) = -f(x). Tentukan luas daun tersebut. 

Misalkan kamu mempunyai sebuah bangun datar yang tidak memiliki rumus untuk menentukan luasnya, dapatkah kamu menentukan luasnya? Jika bangun datar tersebut sisi-sisinya membentuk sebuah fungsi $f(x)$ dengan fungsi yang lain, kita dapat menghampiri luas yang dibatasi fungsi-fungsi tersebut. Konsep integral tentu digunakan untuk menentukan luas daerah tersebut. Katakanlah pada suatu koordinat kartesius untuk interval $a\leq x\leq b$ terdapat dua fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ di mana $f(x)>g(x)$, maka luas daerah di antara dua grafik fungsi tersebut pada interval $a\leq x\leq b$ adalah

$L=\int_{a}^{b}\left[f(x)-g(x)\right]\,dx$

Ingat bahwa integral dari fungsi polinom $ax^{n}$($n\neq-1$) terhadap $x$ adalah

$\int_{a}^{b}ax^{n}\,dx=\left[\frac{ax^{n+1}}{n+1}\right]_{a}^{b}$

Step 1: Identifikasi Konsep

Diketahui terdapat bangun berbentuk daun yang dibatasi oleh dua fungsi, yaitu $f(x)=x^{2}-1$ dan $g(x)=-f(x)=-x^{2}+1$. Akan dicari luas daun tersebut. Pertama, gambarkan parabola $f(x)=x^{2}-1$

$x=0\Leftrightarrow f(0)=(0)^{2}-1=-1$

$f(x)=0\Leftrightarrow0=x^{2}-1\Leftrightarrow x=1$ atau
$x=-1$

Jadi, parabola $f(x)$ memotong sumbu-$x$ di $(1,0)$ dan $(-1,0)$ serta memotong sumbu-$y$ di $(0,-1)$. Sedangkan karena $g(x)=-f(x)$, maka parabola $g(x)$ merupakan bayangan pencerminan $f(x)$ terhadap sumbu-$x$.

<img src="https://storage.pahamify.com/DoubtSolving/production/CourseId-1/ChapId-130/LessonId-2042/ModuleId-2/QuestionCode-21GZIGABBP6/Capture11.PNG" />

Amati bahwa kedua parabola berpotongan di $x=-1$ dan $x=1$, dan juga pada interval $-1\leq x\leq1$ grafik fungsi $g(x)$ berada di atas $f(x)$, artinya $g(x)>f(x)$. Sehingga luas daun yang dibatasi kedua fungsi pada interval $-1\leq x\leq1$ adalah

$L$

$=\int_{-1}^{1}\left[g(x)-f(x)\right]\,dx$

$=\int_{-1}^{1}\left[-x^{2}+1-\left(x^{2}-1\right)\right]\,dx$

$=\int_{-1}^{1}\left[-2x^{2}+2\right]\,dx$

$=\left[\frac{-2x^{2+1}}{2+1}+\frac{2x^{0+1}}{0+1}\right]_{-1}^{1}$

$=\left[\frac{-2x^{3}}{3}+2x\right]_{-1}^{1}$

$=\frac{-2(1)^{3}}{3}+2(1)-\left(\frac{-2(-1)^{3}}{3}+2(-1)\right)$

$=\frac{-2}{3}+2-\left(\frac{2}{3}-2\right)$

$=4-\frac{4}{3}$

$=\frac{12}{3}-\frac{4}{3}$

$=\frac{8}{3}$ satuan luas

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, luas bangun berbentuk daun tersebut adalah $\frac{8}{3}$ satuan luas.

Pembahasan