Sebuah partikel bergerak dengan percepatan mengikuti fungsi terhadap waktu a(t) = 6t - 3 meter/detik?, dengan t adalah waktu dalam detik. Jika kecepatan awal partikel adalah 20 meter per detik, tentukan jarak yang ditempuh partikel (dalam meter) dari awal hingga detik ke-2. 

Jika sebuah benda bergerak dengan percepatan berupa suatu fungsi terhadap waktu dan dengan kecepatan awal tertentu, maka kita dapat menentukan jarak yang telah ditempuh benda pada interval waktu tertentu. Ingat bahwa percepatan $a(t)$ adalah turunan dari kecepatan $v(t)$ terhadap waktu $t$.
$a(t)=v'(t)$ 
Maka jika dibalik, kecepatan adalah antiturunan (integral) dari percepatan
$v(t)=\int a(t)\,dt$
Jika diberikan kecepatan awal $v(0)$, maka diperoleh fungsi kecepatan terhadap waktu $t$. Selanjutnya, kecepatan merupakan turunan dari jarak $s(t)$ terhadap waktu $t$. Maka
$v(t)=s'(t)$ 
$s(t)=\int v(t)\,dt$
Oleh karena itu, untuk menentukan jarak yang telah ditempuh benda pada interval waktu $t=a$ sampai $t=b$, digunakan konsep integral tentu.
$s(a\leq t\leq b)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$

Step 1: Identifikasi Konsep

Diketahui terdapat sebuah partikel yang bergerak dengan percepatan berupa fungsi terhadap waktu $a(t)=6t-3$ meter/detik$^{2}$ dan kecepatan awal partikel adalah $v(0)=20$ meter/detik. Akan dicari jarak yang telah ditempuh partikel dari awal $t=0$ detik hingga $t=2$ detik, maka akan dicari nilai $s(0\leq t\leq2)$. Sebelumnya, dicari dulu $v(t)$
$v(t)$
$=\int a(t)\,dt$
$=\int(6t-3)\,dt$
$=3t^{2}-3t+C$
Karena $v(0)=20$, maka
$v(0)=3(0)^{2}-3(0)+C$
$20=C$
Sehingga diperoleh $v(t)$
$v(t)=3t^{2}-3t+20$
Selanjutnya, karena jarak $s(t)$ merupakan antiturunan (integral) dari kecepatan $v(t)$, maka jarak yang telah ditempuh partikel dari awal $t=0$ detik hingga $t=2$ detik adalah
$s(0\leq t\leq2)$

$=\int_{0}^{2}v(t)\,dt$

$=\int_{0}^{2}(3t^{2}-3t+20)\,dt$

$=\left[t^{3}-\frac{3}{2}t^{2}+20t\right]_{0}^{2}$

$=\left(2^{3}-\frac{3}{2}(2)^{2}+20(2)\right)-\left(0^{3}-\frac{3}{2}(0)+20(0)\right)$

$=\left(8-6+40\right)-\left(0\right)$

$=42$ meter

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, jarak yang telah ditempuh partikel dari awal $t=0$ detik hingga
$t=2$ detik adalah $42$ meter.

Pembahasan