Supaya fungsi 1 x <-a atau x > a f(x) = x2 a, -a<x<a < Kontinyu untuk setiap x € R, maka a =... LE

Misalkan kita diberikan sebuah fungsi $f(x)$ di mana kemungkinan terdapat beberapa posisi sedemikian hingga $f(x)$ tidak kontinyu (asimtot untuk fungsi rasional, persambungan interval untuk fungsi tangga, dll.). Kita bisa mengatur ulang fungsi $f(x)$ atau memberi definisi tambahan supaya pada posisi tersebut $f(x)$ kontinyu di $\mathbb{R}$. Katakanlah $f(x)$ diasumsikan tidak kontinyu di $x=a$, maka uji terlebih dahulu asumsi tersebut dengan ketiga syarat kekontinyuan fungsi.
<ol><li>$f(a)$ ada </li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)$ ada (limit kiri $=$ limit kanan)</li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$</li></ol>
Setelah itu, atur sedemikian rupa sehingga $f(x)$ kontinyu di $x=a$ dengan mengamati kemungkinan syarat tidak terpenuhi.

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan fungsi $f(x)$ didefinisikan sebagai berikut.
$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^2}, & x < -a \text{ atau } x > a \\a, & -a\leq x\leq a \end{cases}$
Amati bahwa fungsinya adalah fungsi rasional dan fungsi konstan, di mana untuk fungsi rasional tidak kontinyu di asimtotnya. Karena fungsi rasionalnya adalah $\frac{1}{x^2}$, maka asimtotnya adalah $x=0$. Lalu, karena interval fungsi konstan adalah $a\leq x\leq a$, maka $a$ merupakan bilangan riil positif, dan $a\neq 0$, karena $x=0$ merupakan asimtot fungsi rasional
Untuk menentukan nilai $a$ berapakah yang menyebabkan $f(x)$ kontinyu di $\mathbb{R}$, lakukan pengujian kekontinyuan di pertemuan interval, yaitu $x=a$ dan $x=-a$. Pilih salah satu, yaitu $x=a$.<ol>
<li>Apakah $f(a)$ ada?</li>
$f(a)=a$ untuk $-a\leq x\leq a$. Jadi, $f(a)$ ada
<li>Apakah $\lim_{x\to a}f(x)$ ada?</li>
Limit kiri: $\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a}a=a$
Limit kanan: $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a} \frac{1}{x^2}=\frac{1}{a^2}$
Limit kiri $\neq$ limit kanan, maka anggap dahulu $\lim_{x\to a}f(x)$ tidak ada.<li>Apakah $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$?</li>
Karena $\lim_{x\to a}f(x)$ tidak ada, maka $\lim_{x\to a}f(x)\neq f(a)$</ol>
Dari ketiga syarat, dapat diamati bahwa syarat 2 dan 3 tidak terpenuhi. Supaya terpenuhi, maka atur supaya $\lim_{x\to a}f(x)$ ada (syarat 2).
Limit kiri $=$ limit kanan
$\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\lim_{x\to a^{+}}f(x)$
$a=\frac{1}{a^2}$
$a^3=1$
$a=1$
Oleh karena itu, atur $a=1$ supaya $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}f(x)=a=1$ (ada), sehingga syarat 3 juga akan terpenuhi.$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)=a=1$. Ini akan menghasilkan fungsi $f(x)$ yang kontinyu untuk setiap $x$ di $\mathbb{R}$
$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x^2}, & x < -1 \text{ atau } x > 1 \\1, & -1\leq x\leq 1 \end{cases}$

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, $f(x)$ akan kontinyu untuk semua $x\in\mathbb{R}$ jika diatur $a=1$.</p

Pembahasan