Supaya fungsi x < 2 f(x) = (x2 + x – 2, x + a, x > 2 Kontinyu untuk setiap x E R, maka a =... = {x?

Misalkan kita diberikan sebuah fungsi $f(x)$ di mana kemungkinan terdapat beberapa posisi sedemikian hingga $f(x)$ tidak kontinyu (asimtot untuk fungsi rasional, persambungan interval untuk fungsi tangga, dll.). Kita bisa mengatur ulang fungsi $f(x)$ atau memberi definisi tambahan supaya pada posisi tersebut $f(x)$ kontinyu di $\mathbb{R}$. Katakanlah $f(x)$ diasumsikan tidak kontinyu di $x=a$, maka uji terlebih dahulu asumsi tersebut dengan ketiga syarat kekontinyuan fungsi.
<ol><li>$f(a)$ ada </li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)$ ada (limit kiri $=$ limit kanan)</li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$</li></ol>
Setelah itu, atur sedemikian rupa sehingga $f(x)$ kontinyu di $x=a$ dengan mengamati kemungkinan syarat tidak terpenuhi.

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan fungsi $f(x)$ didefinisikan sebagai berikut.
$f(x)=\begin{cases}x^2 + x - 2, & x < 2 \\x+a, & x\geq 2 \end{cases}$
Amati bahwa fungsinya adalah fungsi kuadrat dan linier, yang selalu kontinyu di $\mathbb{R}$, tetapi kita belum tahu apakah $f(x)$ kontinyu di persambungan interval, yaitu $x=2$. Maka dilakukan pengujian kekontinyuan $f(x)$ di $x=2$ terlebih dahulu.<ol>
<li>Apakah $f(2)$ ada?</li>
$f(x)=x+a$ untuk $x\geq 2$, maka $f(2)=2+a$ Jadi, $f(2)$ ada
<li>Apakah $\lim_{x\to2}f(x)$ ada?</li>
Limit kiri: $\lim_{x\to2^{-}}f(x)=\lim_{x\to2}(x^{2}+x-2)=2^2 + 2-2=4$
Limit kanan: $\lim_{x\to2^{+}}f(x)=\lim_{x\to2}(x+a)=2+a$
Limit kiri $\neq$ limit kanan, maka anggap dahulu $\lim_{x\to2}f(x)$ tidak ada.<li>Apakah $\lim_{x\to2}f(x)=f(2)$?</li>
Karena $\lim_{x\to2}f(x)$ tidak ada, maka $\lim_{x\to2}f(x)\neq f(2)$</ol>
Dari ketiga syarat, dapat diamati bahwa syarat 2 dan 3 tidak terpenuhi. Supaya terpenuhi, maka atur supaya $\lim_{x\to2}f(x)$ ada (syarat 2).
Limit kiri $=$ limit kanan
$\lim_{x\to2^{-}}f(x)=\lim_{x\to2^{+}}f(x)$
$4=2+a$
$a=2$
Oleh karena itu, atur $a=2$ supaya $\lim_{x\to2}f(x)=4$ (ada), sehingga syarat 3 juga akan terpenuhi.$\lim_{x\to2}f(x)=f(2)=2$

Jadi, $f(x)$ akan kontinyu untuk semua $x\in\mathbb{R}$ jika diatur $a=2$.

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, terbukti bahwa $f(x)$ akan kontinyu untuk semua $x\in\mathbb{R}$ jika diatur $a=2$.

Pembahasan