Tunjukkan bahwa fungsi sin x, x <a - a, x za Kontinyu di x = a jika a = 1 f(x) = {x-a.

Misalkan kita diberikan sebuah fungsi tangga $f(x)$ dengan definisi berikut.
$f(x)=\begin{cases}u(x), & x < a \\v(x), & x\geq a \end{cases}$
Apakah $f(x)$ kontinyu di $x=a$? Untuk mengetahuinya, kita perlu mengingat konsep kekontinyuan fungsi. Fungsi $f(x)$ akan kontinyu di $x=a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut.<ol>
<li>$f(a)$ ada (jelas bahwa $f(a)=v(a)$</li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)$ ada (limit kiri $=$ limit kanan)</li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$</li></ol>

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan fungsi $f(x)$ didefinisikan sebagai berikut.
$f(x)=\begin{cases}\sin{x}, & x < a\\ x-a & x\geq a\end{cases}$
Akan ditunjukkan bahwa $f(x)$ kontinyu di $x=a$ jika $a=\pi$. Karena $a=\pi$, maka
$f(x)=\begin{cases}\sin{x}, & x < \pi \\ x-\pi & x\geq\pi\end{cases}$
Untuk membuktikan apakah $f(x)$ kontinyu di $x=a=\pi$, uji dengan ketiga syarat kekontinyuan.<ol>
<li>Apakah $f(\pi)$ ada?</li>
Berdasarkan definisi, $f(x)=x-\pi$ untuk $x\geq\pi$, maka $f(\pi)=\pi-\pi=0$. Jadi, $f(\pi)$ ada
<li>Apakah $\lim_{x\to\pi}f(x)$ ada?</li>
Limit kiri: $\lim_{x\to\pi^{-}}f(x)=\lim_{x\to\pi}\sin{x}=\sin{\pi}=0$
Limit kanan: $\lim_{x\to\pi^{+}}f(x)=\lim_{x\to\pi}x-\pi=\pi-\pi=0$
Limit kiri $=$ limit kanan $=$ 0, maka $\lim_{x\to\pi}f(x)$ ada, yaitu sama dengan $0$
<li>Apakah $\lim_{x\to\pi}f(x)=f(\pi)$?</li>
Jelas bahwa $\lim_{x\to\pi}f(x)=0$ dan $f(\pi)=0$. Jadi, $\lim_{x\to\pi}f(x)=f(\pi)$</ol>
Dari ketiga syarat, maka dapat disimpulkan bahwa $f(x)$ kontinyu di $x=a$ jika $a=\pi$.

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, terbukti bahwa $f(x)$ akan kontinyu di $x=a$ jika diatur $a=\pi$.

Pembahasan