a. 8. Koordinat fokus elips 9x2 + 25y2 – 18x + 100y - 116 = 0 adalah .... (2, 1) dan (-6, 1) b. (6, 1) dan (2, 1) (3, -2) dan (-5, -2) d. (3, 2) dan (-5, 2) (5,-2) dan (-3, -2) c. e. 

Hai Pahamifren, kalian pasti tahu bentuk elips kan? Nah di matematika kita bukan hanya persamaan lingkaran aja nih yang bisa dicari tetapi persamaan elips juga. Nah unsur-unsur dari suatu elips lebih banyak dibandingkan lingkaran, ada puncak, titik pusat, titik fokus, sumbu mayor, sumbu minor, dan masih banyak lagi. Untuk mencari persamaannya juga berbeda bergantung unsur-unsur yang diketahui. Di soal kali ini kita diberikan sebuah persamaan elips dan diminta untuk menentukan titik fokusnya. Untuk menyelesaikan permasalahan ini kita akan menggunakan konsep Persamaan Umum dan Unsur-Unsur Elips

Konsep 

Diketahui:
Sebuah elips dengan persamaan \(9x^2+25y^2 - 18x + 100y - 116 = 0\).
Ditanya:
Koordinat fokus elips
Jawab:
Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu \(X\) dengan titik pusat \(M(p, q)\)
Persamaan Umum Elips
\(\frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1\)

Unsur- unsur pada elips
1) Titik Pusat : \(M(p,q)\)

2) Titik Fokus : 
\(F_1(p-c, q)\) dan \(F_2(p+c,q)\)

3) Hubungan \(a, b, c\) : \(a^2=b^2+c^2\)

4) Titik Puncak : 
\(A(p-a, q), B(p+a, q), C(p, q-b)\) dan \(D(p, q+b)\)

5) Panjang sumbu mayor \(=2a\)

6) Panjang sumbu minor \(=2b\)

7) Panjang lectus rectum \(=\frac{2b^2}{a}\)

8)Eksentrisitas : \(e=\frac{c}{a}\)

9) Persamaan direktris : 
\(y=-\frac{a^2}{c}+p\) dan \(y=\frac{a^2}{c}+p\)

Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu \(Y\) dengan titik pusat \(M(p, q)\)
Persamaan Umum Elips
\(\frac{(x-p)^2}{b^2}+\frac{(y-q)^2}{a^2}=1\)

Unsur- unsur pada elips
1)Titik Pusat : \(M(p,q)\)

2) Titik Fokus : 
\(F_1(p, q-c)\) dan \(F_2(p, q+c)\)

3) Hubungan 
\(a, b, c\) : \(a^2=b^2+c^2\)

4) Titik Puncak : 
\(A(p, q-a), B(p, q+a), C(p-b, q)\) dan \(D(p+b, q)\)

5) Panjang sumbu mayor \(=2a\)

6)Panjang sumbu minor \(=2b\)

7) Panjang lectus rectum \(=\frac{2b^2}{a}\)

8) Eksentrisitas : \(e=\frac{c}{a}\)

9) Persamaan direktris : \(y=-\frac{a^2}{c}+q\) dan \(y=\frac{a^2}{c}+q\)

Catatan untuk kuadrat sempurna
1) \(x^2+bx=(x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2\)
2) \(x^2-bx=(x-\frac{b}{2})^2-(-\frac{b}{2})^2\)

Kita ubah terlebih dahulu persamaan \(9x^2+25y^2 - 18x + 100y - 116 = 0\) ke bentuk umum 
\(9x^2- 18x+25y^2 + 100y - 116 = 0\)
\(9(x^2- 2x)+25(y^2 +4y) - 116 = 0\)
\(9\left[(x-1)^2-(-1)^2\right]+25\left[(y+2)^2-(2)^2\right] - 116 = 0\)
\(9(x-1)^2-9(-1)^2+25(y+2)^2-25(2)^2- 116 = 0\)
\(9(x-1)^2-9+25(y+2)^2-25(4)- 116 = 0\)
\(9(x-1)^2-9+25(y+2)^2-100- 116 = 0\)
\(9(x-1)^2+25(y+2)^2-225 = 0\)
\(9(x-1)^2+25(y+2)^2=225 \) bagi dengan 225
\(\frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y+2)^2}{9}=1 \)

Perhatikan bahwa elips tersebut sejajar dengan sumbu \(X\) dengan pusat \((p, q)\) sehingga fokusnya adalah \(F_1(p-c, q)\) dan \(F_2(p+c,q)\). kita tentukan dulu \(p, q\) dan \(c\)
\(\frac{(x-1)^2}{25}+\frac{(y+2)^2}{9}=1 \)
\(p=1, q=-2, a^2=25, b^2=9\)
Nilai \(c\)
\(a^2= b^2+c^2\)
\(25=9+c^2\)
\(16=c^2\)
\(c=4\)

Jadi fokusnya adalah \((1-4, -2)=(-3, -2)\) dan \((1+4, -2)=(5, -2)\).

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, koordinat fokus elips dengan persamaan \(9x^2+25y^2 - 18x + 100y - 116 = 0\) adalah \((-3, -2)\) dan \((5, -2)\). D