dan 11.Persamaan bayangan dari garis ax + by + c = 0 terhadap pencerminan garis x = 2 dilanjutkan dengan pencerminan garis y = 1 adalah 2x + 3y – 1 = 0. Maka nilai dari 2a + b – c adalah .... 

Hai Pahamifren, kalian pasti sering bercermin kan? Saat bercermin kalian akan menggunakan cermin sebagai alatnya. Nah pada bidang geometri kita juga dapat mencerminkan unsur unsur yang ada di dalamnya hanya saja cermin yang digunakan bukan cermin seperti yang kita gunakan melainkan dapat berupa titik maupun garis. Coba lihat soal yang kita punya! kita diberikan suatu persamaan bayangan dari \(ax+by+c=0\) yang di cerminkan terhadap garis \(x=2\) dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis \(y=1\), kita diminta untuk mencari nilai dari \(2a+b-c\). Sekarang coba perhatikan, kedua garis tersebut adalah saling tegak lurus. Artinya kita akan menggunakan konsep Refleksi Berurutan terhadap 2 garis tegak lurus

Konsep

Diketahui:
Persamaan bayangan dari \(ax+by+c=0\) yang di cerminkan terhadap garis \(x=2\) dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis \(y=1\) adalah \(2x+3y-1=0\)
Ditanya:
Nilai dari \(2a+b-c\)
Jawab
Transformasi geometri merupakan perubahan pada sebuah bidang geometri yang meliputi perubahan posisi, ukuran dan juga bentuk.

Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi geometri berupa pergeseran atau pemindahan semua titik pada bidang geometri kearah sebuah cermin dengan jarak sama dengan dua kali jarak titik kecermin. Pencerminan bergantung pada cermin apa yang digunakan. Pencerminan juga dapat dilakukan bukan hanya satu kali tetapi bisa juga dilakukan lebih dari sekali secara berturut turut. Nah salah satunya adalah pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus.

Refleksi atau pencerminan terhadap dua garis yang saling tegak lurus
Jika titik \(A(x, y)\) direfleksikan terhadap dua garis yang saling tegak lurus maka bayangannya \(A'(x', y')\) sama dengan rotasi titik \(A(x, y)\) dengan titik pusatnya adalah titik potong kedua garis dan sudut putar \(180^\circ\). 
Misalkan titik potong kedua garis adalah \((p, q)\) maka rumusnya bisa dituliskan dalam bentuk sebagai berikut
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos{180^\circ}&-\sin{180^\circ}\\ \sin{180^\circ}&\cos{180^\circ}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-p\\ y-q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1(x-p)+0(y-q)\\ 0(x-p)-1(y-q)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p\\ -y+q\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+p+p\\ -y+q+q\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2p\\ -y+2q\end{array}\right)\\\)

Perhatikan
Garis \(x=2\) dan \(y=1\) adalah garis yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik \((2, 1)\), artinya komposisi dari dua pencerminan tersebut dapat dituliskan sebagai rotasi dengan pusat \((2, 1)\) dan sudut \(180^\circ\). Untuk mencari persamaan garis aslinya maka pertama-tama kita akan mencari hasil dari rotasi tipa titiknya, perhatikan 
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+2(2)\\ -y+2(1)\end{array}\right)\)
\(\left(\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x+4\\ -y+2\end{array}\right)\)
Jadi kita punya persamaan
\(x'=-x+4\)
\(y'=-y+2\)
untuk menentukan persamaan awalnya maka kita hanya perlu substitusikan persamaan tersebut ke persamaan bayangannya
\(2(-x+4)+3(-y+2)-1=0\)
\(-2x+8-3y+6-1=0\)
\(-2x-3y+13=0\)
artinya kita punya nilai \(a=-2, b=-3\) dan \(c=13\)
Sehingga nilai dari \(2a+b-c=2(-2)+(-3)-13)=-4-3-13=-20\)

Pembahasan Identifikasi Masalah dan Solusi

Jadi, nilai dari \(2a+b-c\) yang kita peroleh adalah \(-20\).