lim 15.Jika f(x) f(x) = -4 ; lim = -4 X-0 х *44 - X Dan f(x) = ax2 + bx+c, maka nilai dari a + b + c adalah... 

Kenal Isaac Newton dan Gottfried Leibniz gak? For your information fren, mereka berperan penting dalam ilmu kalkulus lho, khususnya kalkulus diferensial. Limit adalah pembahasan dasar di kalkulus diferensial. Sekarang coba perhatiin soalnya deh, kalau nilai \(x\) langsung kita substitusi, ternyata mendapat bentuk tak tentu \((\frac{0}{0})\). Selain menggunakan manipulasi aljabar yang sebelumnya telah kamu pelajari, penyelesaian limit juga dapat menggunakan Dalil L’Hopital, yaitu prinsip turunan fungsi. Dalil inilah yang akan kita pakai kali ini. Gampang kok, yuk kita bahas!

Step 1: Identifikasi Konsep

Penyelesaian limit dapat menggunakan Dalil L’Hopital yang berkaitan dengan turunan fungsi. 
	
Dalil L’Hopital (L’Hospital)
Misalkan \(f(x)\) dan \(g(x)\) memiliki turunan di \(x=c\) dan misal \( \lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}\) menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\) atau \(\frac{\infty}{\infty}\) jika \(x=c\) disubstitusi langsung, maka 

\( \lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c} \frac{f’(x)}{g’(x)}\)

Ingat juga konsep turunan fungsi aljabar

\(f(x)=ax^n \rightarrow f’(x)=anx^{n-1}\)

Itu dia konsepnya. Kita akan menyelesaikan permasalahan limit dengan Dalil L’Hopital.

Kita akan analisa masing-masing limit 
<ul><li>\(\begin{aligned}\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}=-4\end{aligned}\)
Perhatikan bahwa jika kita substitusi langsung, penyebutnya akan menjadi 0. Maka haruslah pembilangnya juga bernilai 0 jika kita substitusi (kalau pembilangnya tidak nol, akan menghasilkan \(\frac{c}{0}\), padahal hasil limitnya sudah diketahui, yaitu \(-4\)). Sehingga dari pembilangnya didapat

\(\begin{aligned}f(0)&=0\\ a(0)^2+b(0)+c&=0\\ c&=0 \end{aligned}\)

Karena kita tahu bahwa jika disubstitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), maka bisa kita gunakan Dalil L’Hopital

\(\begin{aligned}\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x}&=-4\\ \lim_{x\to 0} \frac{f’(x)}{1}&=-4\\ \frac{f’(0)}{1}&=-4\\ f’(0)&=-4\end{aligned}\)

Kita turunkan fungsi \(f(x)\)

\(\begin{aligned} f’(x)&=2ax+b\\ f’(0)&=-4\\ 2a(0)+b&=-4\\ b&=-4 \end{aligned}\)</li></ul>Sekarang kita lanjut ke limit berikutnya
<ul><li>\(\begin{aligned} \lim_{x\to 4} \frac{f(x)}{4-x}=-4\end{aligned}\)

Perhatikan bahwa jika kita substitusi langsung, penyebutnya akan menjadi 0. Maka haruslah pembilangnya juga bernilai 0 jika kita substitusi (kalau pembilangnya tidak nol, akan menghasilkan \(\frac{c}{0}\), padahal hasil limitnya sudah diketahui, yaitu \(-4\)). Sehingga dari pembilangnya didapat

\(\begin{aligned}f(4)&=0\\ a(4)^2+b(4)+c&=0\\ 16a+4b+c&=0\\ 16a+4(-4)+(0)&=0\\ 16a&=16\\ a&=\frac{16}{16}=1 \end{aligned}\)

Meskipun sudah mendapatkan nilai semua variabelnya, kita perlu memastikan seluruh kondisi terpenuhi. Oleh karena itu tetap kita lanjutkan. Kita tahu bahwa jika disubstitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), maka bisa kita gunakan Dalil L’Hopital

\(\begin{aligned}\lim_{x\to 4} \frac{f(x)}{4-x}&=-4\\ \lim_{x\to 4} \frac{f’(x)}{-1}&=-4\\ \frac{f’(4)}{1}&=-4\\ f’(4)&=4\\ 2a(4)+b&=4\\ 8a+b&=4\end{aligned}\)

Bila kita substitusi nilai \(a=1\) dan \(b=-4\), maka persamaan tersebut bernilai benar ya! Berarti nilai yang kita dapat tadi sudah benar. </li></ul>Sekarang kita bisa menghitung nilai dari

\(\begin{aligned}a+b+c&=1-4+0\\ &=-3 \end{aligned}\)

Pembahasan