x2 – p, Supaya fungsi f(x) x<-3 -x +9, X > -3 Kontinyu untuk setiap x € R, maka p =...

Misalkan kita diberikan sebuah fungsi $f(x)$ di mana kemungkinan terdapat beberapa posisi sedemikian hingga $f(x)$ tidak kontinyu (asimtot untuk fungsi rasional, persambungan interval untuk fungsi tangga, dll.). Kita bisa mengatur ulang fungsi $f(x)$ atau memberi definisi tambahan supaya pada posisi tersebut $f(x)$ kontinyu di $\mathbb{R}$. Katakanlah $f(x)$ diasumsikan tidak kontinyu di $x=a$, maka uji terlebih dahulu asumsi tersebut dengan ketiga syarat kekontinyuan fungsi.
<ol><li>$f(a)$ ada </li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)$ ada (limit kiri $=$ limit kanan)</li>
<li>$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$</li></ol>
Setelah itu, atur sedemikian rupa sehingga $f(x)$ kontinyu di $x=a$ dengan mengamati kemungkinan syarat tidak terpenuhi.

Step 1: Identifikasi Konsep

Diberikan fungsi $f(x)$ didefinisikan sebagai berikut.
$f(x)=\begin{cases}x^2 -p, & x < -3 \\-x+9, & x\geq -3 \end{cases}$
Amati bahwa fungsinya adalah fungsi kuadrat dan linier, yang selalu kontinyu di $\mathbb{R}$, tetapi kita belum tahu apakah $f(x)$ kontinyu di persambungan interval, yaitu $x=-3$. Maka dilakukan pengujian kekontinyuan $f(x)$ di $x=-3$ terlebih dahulu.<ol>
<li>Apakah $f(-3)$ ada?</li>
$f(x)=-x+9$ untuk $x\geq -3$, maka $f(-3)=-(-3)+9=12$ Jadi, $f(-3)$ ada
<li>Apakah $\lim_{x\to-3}f(x)$ ada?</li>
Limit kiri: $\lim_{x\to-3^{-}}f(x)=\lim_{x\to-3}(x^{2}-p)=(-3)^2-p=9-p$
Limit kanan: $\lim_{x\to-3^{+}}f(x)=\lim_{x\to-3}(-x+9)=-(-3)+9=12$
Limit kiri $\neq$ limit kanan, maka anggap dahulu $\lim_{x\to-3}f(x)$ tidak ada.<li>Apakah $\lim_{x\to-3}f(x)=f(-3)$?</li>
Karena $\lim_{x\to-3}f(x)$ tidak ada, maka $\lim_{x\to-3}f(x)\neq f(-3)$</ol>
Dari ketiga syarat, dapat diamati bahwa syarat 2 dan 3 tidak terpenuhi. Supaya terpenuhi, maka atur supaya $\lim_{x\to-3}f(x)$ ada (syarat 2).
Limit kiri $=$ limit kanan
$\lim_{x\to-3^{-}}f(x)=\lim_{x\to-3^{+}}f(x)$
$9-p=12$
$p=-3$
Oleh karena itu, atur $p=-3$ supaya $\lim_{x\to-3}f(x)=12$ (ada), sehingga syarat 3 juga akan terpenuhi.$\lim_{x\to-3}f(x)=f(-3)=12$

Step 2: Identifikasi masalah dan solusi

Jadi, $f(x)$ akan kontinyu untuk semua $x\in\mathbb{R}$ jika diatur $p=-3$.

Pembahasan